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수학계 오래된 물음에
해답을 제시하다

서울대학교 이상혁 교수

HOME 끝없는 수학의 세계. 인류가 밝혀낸 수의 법칙들은 광활한 우주 질서 중 일부분에 불과하지만, 오랜 시간 쌓이고 쌓인 이 작은 조각들은 다양한 분야에 응용되며 문명 발전을 이끌어왔습니다.
다만 여전히 아직 풀리지 않은 난제들도 많은데요. 한 연구자가 40여 년간 풀리지 않던 수학계의 물음에 한 줄기 빛을 던졌습니다. 지난 3월 이달의 과학기술인상을 수상한 서울대학교 수리과학부 이상혁 교수의 이야기를 전합니다.

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이달의 과학기술인상 우수한 연구개발 성과로 과학기술 발전에 공헌한 연구개발자를
매월 1명 선정하여 과학기술정보통신부 장관상과 상금 1천만 원을 수여하는 상

Chapter 01 인물탐구

이 상 혁 1971년생

소속 서울대학교 주요학력
  • 1997.03. ~ 2001.02. 포항공대 수학과 박사
  • 1995.03. ~ 1997.02. 포항공대 수학과 석사
  • 1991.03. ~ 1995.02. 포항공대 수학과 학사

Chapter 02 수학자의 길

학부 시절, 전자공학도의 길을 걷던 이상혁 교수. 그가 전공을 수학으로 바꾸게 된 계기는 수학의 명징한 사고방식과 논리적 아름다움 때문이었습니다. 때때로 어렵고 힘든 연구 과정 속 문제의 해답을 얻는 순간 느껴지는 희열이, 그를 수학자로 인도했는데요. 그렇게 이상혁 교수는 학문을 배우는 과정 자체를 즐기며 인생의 새로운 도전을 시작했습니다. 순수수학 중 해석학, 그 안에서도 이상혁 교수가 유독 더 관심을 가진 학문은 조화해석학(Harmonic Analysis)입니다. 조셉 푸리에(Joseph Fourier, 1768~1830)의 아이디어에서 출발한 조화해석학은 함수나 신호를 기본적인 파형(푸리에 급수 등)으로 분해하는 이론을 연구하는 수학 분야로, 신호 및 영상 처리, 데이터 분석 등 현대 사회에서 광범위하게 활용되고 있는데요. 그는 조화해석학의 깊은 이론적 토대를 바탕으로 기존의 틀을 깨는 혁신적인 아이디어와 창의적인 접근법으로 연구의 지평을 넓혀나갔습니다.

Chapter 03 오래된 난제 해결

스스로에게 수학적 질문을 던지고 탐구를 이어가던 이상혁 교수는 10여 년 전 오랜 시간 고전 조화해석학의 난제로 남아있던 ‘르베르 공간*’에서 공간곡선에 대한 극대함수의 유계 연구를 진행해 왔습니다. 평면곡선에 대한 극대함수의 유계는 1986년 부르갱(J. Bourgain, 1994년 필즈상 수상자)에 의해 증명되었지만, 공간곡선에 대해서는 오랫동안 미해결 상태로 남아있었기 때문인데요. 그는 하나의 공간곡선에 대한 극대함수의 유계에 대한 해답을 찾고자 했습니다. * 르베르 공간 : 함수가 적분 가능한 정도에 따라 분류되는 함수들의 공간. 해석학에서 함수의 극한과 수렴을 논의하는 데 중요한 역할을 함. “100여 년의 역사를 가진 극대함수 연구는 초창기 비교적 단순한 형태에서 출발하여 복잡한 형태로 확장해 왔습니다. 특히 곡선이나 곡면같이 내부가 없는 저차원 다양체 위에서 정의되는 극대함수는 조화해석학 분야의 중요한 연구 주제로 꼽히는데요. 많은 연구자들이 연구에 몰입했지만 3차원 이상의 공간곡선에 대한 극대함수 유계 문제는 오랫동안 미해결 문제로 남아있었습니다. 아직 해결되지 않은 이 난제 해결에 도전한 셈이죠.”

극대함수 연구의 발전 과정

이상혁 교수의 도전은 조화해석학계에 매우 중요한 성과로 돌아왔습니다. 부르갱의 원 극대 정리 이후 40여 년간 미해결 상태로 남아있던 3차원 공간에서 곡선에 대한 극대함수의 유계 문제를 세계 최초로 증명해낸 것인데요. 그는 연구과정에서 귀납적 방법과 다중선형 접근법을 결합한 새로운 방법론을 창안했고, 오랜 시간 꽁꽁 묶여 있던 난제에 해답을 제시했습니다. 극대함수 연구에 새로운 가능성을 열어준 것이죠. 그의 연구성과는 독창성과 중요성을 인정받아 수학 분야의 최고 권위 학술지 중 하나인 인벤시오네 마테마티케(Inventiones Mathematicae)에 논문이 게재되었습니다.

이상혁 교수의 공간곡선 극대 정리 차원에서 곡률(휘어짐)과 토션(비틀림)이 모두 영이 아닌 곡선에 대한 극대함수가
어떤 르베그 공간에서 유계일 필요충분조건은 ‘그 르베그 공간의 적분 지수가 3보다 크다’이다.

등장 팽창한 곡선상의 평균을 적분으로 나타내는 수식

Chapter 04 스승의 길

이상혁 교수는 국내에서 학위를 취득하여 미국 대학 수학과 교수로 임용된 바 있으며, 현재는 서울대학교 수리과학부 교수로 후학 양성에도 힘을 쏟고 있습니다. 수많은 연구자와 학생에게 학문적 열정과 끊임없는 탐구 정신의 가치를 보여주는 본보기가 되고 있는데요. “수학자는 과학자이자 철학자 같아요. 때로는 예술가처럼 느껴지기도 하고요. 깊은 통찰을 바탕으로 심오한 수학적 진리를 탐구해야 하죠. 하지만 여러 순수학문이 그러하듯이 수학도 수많은 시행착오 속 자신의 열정을 에너지로 삼아 고독한 길을 걸어야 합니다. 그래서 저는 학생들에게 “스스로 끌리는 것, 흥미를 느끼는 것을 추구하라”고 말합니다. 그래야만 지치지 않고 자신만의 독창적인 연구를 만들어갈 수 있으니까요.” 그는 ‘다가오는 3월 새학기를 준비하는 마음가짐과 근황’에 대한 취재진의 물음에 “연구와 교육에 매진할 예정”이라며 담담한 포부와 앞으로의 계획을 전했는데요. 결연한 의지로 조화해석학의 발전과 수학 교육에 새로운 지평을 열어갈 이상혁 교수의 행보에 큰 응원을 보냅니다.

속닥속닥! 못 다한 이야기 연구자 TMI

2025년 3월 과학기술인상 수상을 진심으로 축하합니다.

과학기술인상을 받게 되어 깊이 감사드립니다. 무엇보다 제가 연구하고 있는 조화해석학 분야의 연구성과가 인정받게 되어 기쁩니다. 또한, 국내 조화해석학 그룹이 중요한 연구를 수행하고 있다는 점을 널리 알릴 수 있어 더욱 기쁘게 생각합니다. 학문 연구는 개인의 노력만이 아니라 수많은 연구자의 협력과 학문적 교류 속에서 발전하는 거대한 협업의 과정입니다. 이번 성과는 저의 개인적 노력뿐만 아니라 여러 연구자의 노력이 쌓여 이루어진 결과입니다. 이 기쁨을 같은 분야에서 연구하는 동료들과 함께 나누고 싶습니다.

공간곡선에 대한 극대함수의 유계성 규명,
오랜 난제였던 만큼 해결까지 어려움도 많으셨을 것 같습니다.

이 문제를 해결하는 데 길게 보면 10년 이상의 시간이 소요되었습니다. 2010년 경 곡선에 대한 푸리에 제한 계측 문제를 연구하면서 여기에 사용한 귀납적 접근법이 곡선에 대한 극대함수 문제에도 핵심적인 도구가 될 수 있다는 직관을 얻었는데요. 하지만 문제를 완전히 해결하기까지는 많은 시행착오가 있었습니다. 특히 기존 방법만으로는 극복하기 어려운 장벽이 있었기 때문에, 필요한 수학적 도구를 갖추는 데 시간이 걸렸습니다. 본격적인 연구가 시작된 것은 코로나 시기였는데요. 사회적 활동은 위축되었지만, 오히려 연구에 집중하기 좋은 환경이었던 것 같습니다. 이 시기에 기존 방법론을 발전시키고 새로운 접근법을 구체화하였고, 결국 귀납적 방법과 다중선형 접근법을 결합한 새로운 방법론을 창안해 문제를 해결할 수 있었습니다.

현재 어떤 연구를 하고 계시나요?

현재 제가 진행하는 연구의 중요한 부분 중 하나는 다차원 공간에서 푸리에 변환의 성질을 탐구하고, 이에 관련된 여러 양적인 관계를 규명하는 것입니다. 특히, 기하학적 구조를 반영하는 푸리에 해석의 기법을 활용하여 극대함수*, 평균 연산자와 같은 조화해석학적 대상을 연구하고 있습니다. 이러한 연구는 근본적인 수학적 질문의 탐구인 동시에, 물리학과 데이터 과학 등 다양한 응용 분야에도 기여할 수 있는 가능성을 가지고 있습니다.

극대함수(maximal function) : 해석학의 중요한 도구로써 주어진 물리적 양(量)의 (혹은 함수) 최대치를 나타내며, 함수의 크기와 변동성을 측정하는 데 핵심적인 역할을 한다.

꾸준히 연구를 이어갈 수 있는 원동력은 무엇인가요?

연구자로서의 삶은 희망과 절망이 교차하는 과정의 연속입니다. 오랫동안 고민하던 문제를 해결했을 때 느끼는 환희가, 얼마 지나지 않아 증명의 오류를 발견하며 깊은 절망으로 바뀌는 일도 흔하죠. 산길을 헤매다 마침내 정상에 올라 탁 트인 풍경을 내려다보는듯한 순간 큰 감동이 몰려오듯, 수학 역시도 마찬가지입니다. 연구과정 속 깨달음과 문제 해결의 순간들이 모여, 고된 이 길을 계속 걸어가게 해주는 원동력이 되어주고 있습니다.

수학자로서 궁극적으로 해결하고 싶은 연구 목표는 무엇인가요?

제가 진행하고 있는 연구의 중요한 축 중 하나인 다차원 푸리에 변환의 근본적인 성질을 규명하는 것입니다. 물론 이와 관련된 어떤 문제들은 여러 세대를 거쳐도 해결되지 않을 수도 있습니다. 하지만 새로운 통찰을 얻고, 후속 연구의 기반을 마련한다면 그것만으로도 의미 있는 과정이 될 거라고 생각합니다. 나아가 국내에 세계적 수준의 조화해석학 연구그룹을 만드는 데에도 힘을 보태고 싶습니다.